Vektoren in ℝ²
Eine Einführung in geordnete Zahlenpaare, Vektoroperationen und das Skalarprodukt
Was sind Vektoren?
Geordnete Zahlenpaare
Zwei Zahlen zur Beschreibung eines Sachverhalts: (a₁, a₂) oder in Spaltenform
Koordinaten
a₁ und a₂ heißen Koordinaten oder Komponenten des Vektors
Die Menge ℝ²
Alle geordneten Paare reeller Zahlen bilden die Menge ℝ²
Praktische Anwendungen
Beispiel: Filialumsätze
Monatliche Einnahmen zweier Filialen in Euro:
  • 1. Filiale Jänner: (55 200, 69 890)
  • 2. Filiale Jänner: (25 160, 53 050)
Beispiel: Sprachwahl
Schüler wählen zwischen Latein und Französisch:
  • L = (14|17) für Latein-Wahlen in 5A bzw. 5B
  • B = (17|8) für beide Sprachen in 5B
Vektoraddition und -subtraktion
1
Addition
Koordinaten einzeln addieren: A + B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
2
Subtraktion
Koordinaten einzeln subtrahieren: A - B = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)
3
Skalarmultiplikation
Jede Koordinate mit Skalar r multiplizieren: r · A = (r·a₁, r·a₂)
Merke: Vektoren werden komponentenweise addiert und subtrahiert. Eine reelle Zahl r heißt Skalar.
Rechenbeispiel
Urlaubsausgaben
Anna: A = (120|150)
Bea: B = (130|170)
Flug und Hotel in Euro
Gesamtausgaben
S = A + B = \begin{pmatrix} 120 \\ 150 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 130 \\ 170 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 250 \\ 320 \end{pmatrix}
Differenz
D = B - A = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \end{pmatrix}
Rechengesetze für Vektoren
1
Kommutativgesetz
A + B = B + A
2
Assoziativgesetz
(A + B) + C = A + (B + C)
3
Neutrales Element
A + 0 = A mit Nullvektor 0 = (0|0)
4
Inverses Element
A + (-A) = 0 mit Gegenvektor -A = (-a₁|-a₂)
5
Distributivgesetz 1
r · (A + B) = r · A + r · B
6
Distributivgesetz 2
(r + s) · A = r · A + s · A
Das Skalarprodukt
Definition
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl:
A \cdot B = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
Beispiel: Wareneinkauf
Stückzahlvektor S = (3, 125)
Stückpreisvektor P = (50, 10)
Gesamtkosten:
S \cdot P = 3 \cdot 50 + 125 \cdot 10 = 1400 \text{ Euro}

Wichtig: Das Skalarprodukt ist kein Vektor, sondern ein Skalar (eine reelle Zahl)!
Rechengesetze für das Skalarprodukt
Kommutativgesetz (SP1)
A · B = B · A
Distributivgesetz (SP2)
(A + B) · C = A · C + B · C
Quasiassoziativgesetz (SP3)
(r · A) · B = r · (A · B)
Weitere wichtige Formeln
(A + B)^2 = A^2 + 2 \cdot (A \cdot B) + B^2
(A - B)^2 = A^2 - 2 \cdot (A \cdot B) + B^2
Praxisbeispiel: Lagerverwaltung
Mehllieferung
Zwei Großhändler kaufen bei zwei Mühlen ein:
  • Mühle 1: A = (32|18) Tonnen
  • Mühle 2: B = (40|26) Tonnen
  • Gesamt: C = A + B = (72|44) Tonnen
LKW-Beladung
Kisten und Fässer mit unterschiedlichem Gewicht:
  • Anzahl: A = (3|a₂)
  • Gewicht: G = (20|40) kg
  • Gesamtgewicht: A · G = 140 kg
Zusammenfassung
01
Vektoren in ℝ²
Geordnete Zahlenpaare (a₁, a₂) zur Beschreibung von Sachverhalten mit zwei Größen
02
Vektoroperationen
Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation erfolgen komponentenweise
03
Rechengesetze
Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze gelten analog zu reellen Zahlen
04
Skalarprodukt
A · B = a₁·b₁ + a₂·b₂ liefert eine reelle Zahl, nützlich für Kostenberechnungen
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